浅谈伴随矩阵在逆矩阵求解中的应用

最近数学课上讲了矩阵,很久以前便对矩阵很有兴趣,但由于一些原因没有深入学习。正好趁这个机会,有思考了一下关于矩阵的内容。目前应用较广的应该是运用逆矩阵求解线性方程组,尤其对于三元一次方程组,运用逆矩阵求解会非常方便。

一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。我们对这种情况不做深入讨论。

引理1:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),以及两个整数\(i,j\),其中\(1\leq i,j\leq n\)。去掉\(\mathbf{A}\)的第\(i\)行以及第\(j\)列,得到一个\(n-1\)阶子矩阵。记这个子矩阵的行列式为\(M_{ij}\)。称为余子式。

引理2:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),代数余子式是余子式\(M_{ij}\)与\(\left ( -1 \right )^{i+j}\)的乘积,记作\(C_{ij}\)。

:对于矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7\\ 3 & 0 & 5\\ -1 & 9 & 11 \end{bmatrix}\),计算它的代数余子式\(C_{23}\)。

:首先计算余子式\(M_{23}\),即原矩阵去掉第二行以及第三行所得的矩阵的行列式:\(\begin{bmatrix} 1 & 4 & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\ -1 & 9 & \bigcirc \end{bmatrix}\),即\(\begin{vmatrix} 1 & 4\\ -1 & 9 \end{vmatrix}=\left ( 9-\left ( -4 \right ) \right )=13\)。因此\(C_{23}=\left ( -1 \right )^{2+3}\cdot M_{23}=-13\)。

引理3:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),由代数余子式组成的新的矩阵,称为该矩阵的余子矩阵。记作\(\mathbf{C}\)。

引理4:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),定义它的转置矩阵\(\mathbf{A^{T}}\)。转置矩阵\(\mathbf{A^{T}}\)可以通过下列操作得到:把\(\mathbf{A}\)的横行写为\(\mathbf{A^{T}}\)的纵行,把\(\mathbf{A}\)的纵行写为\(\mathbf{A^{T}}\)的横行。

:\(\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)。

引理5:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),它的余子矩阵\(\mathbf{C}\)的转置矩阵称为矩阵\(\mathbf{A}\)的伴随矩阵。记作\(\mathbf{A^{*}}=\mathbf{C^{T}}\)。

:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\),求它的伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)。

:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12}\\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} M_{11} & -M_{12}\\ -M_{21} & M_{22} \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\)。

:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\),求它的伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)。

:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\ C_{21} & C_{22} & C_{23}\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} M_{11} & -M_{12} & M_{13}\\ -M_{21} & M_{22} & -M_{23}\\ M_{31} & -M_{32} & M_{33} \end{bmatrix}^{T}\\ =\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}^{T}\\ =\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix}\) 其中\(\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in}\\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix}=a_{im}\cdot a_{jn}-a_{in}\cdot a_{jm}\)。

:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & -5\\ -1 & 0 & -2\\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix}\),求它的伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)。

:通过计算不难得出\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} -8 & 18 & -4\\ -5 & 12 & -1\\ 4 & -6 & 2 \end{bmatrix}\)。

引理6:对于一个\(n\)阶矩阵\(\mathbf{A}\),它的逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)与伴随矩阵\(\mathbf{A^{*}}\)满足\(\mathbf{A^{-1}}= \frac{\mathbf{A^{*}}} {\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}}\)。其中\(\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}\)为矩阵\(\mathbf{A}\)的行列式。

:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\),求它的逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)。

:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -2 & 3 \end{bmatrix},\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-1,\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}}\cdot \mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ 2 & -3 \end{bmatrix}\)。

:对于矩阵\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\),求它的逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)。

:\(\mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 3\\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix},\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=1,\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{\begin{vmatrix} \mathbf{A} \end{vmatrix}}\cdot \mathbf{A^{*}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 3\\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\)。

运用伴随矩阵来求解逆矩阵会方便很多,尤其是对于高阶矩阵。且使得逆矩阵的求法有规律可循,不需要死记公式。