关于这个算法，主要是参考NOIP2012 Day2 T1。即这里所讲的是求解这样一个线性模方程：
\[ax\equiv 1\mod{p}\]的最小正整数解。
去年我是暴搜做的，当时什么都不会。今天在这里介绍两种算法，一种是我国古代数学家秦九韶发明的「大衍求一术」，还一种是著名的「扩展欧几里德算法」。
首先来看一下大衍求一术。这里只介绍它的计算方法，至于证明可以参考扩展欧几里德算法。
例1：求解方程\(23x\equiv 1\mod{97}\)。
解：我们只需要列出下面这张表就可以得到求解
\[\begin{matrix}23^{1} & 23^{1} & 3^{17} & 3^{17} & 1^{38}\\ 97^{0} & 5^{4} & 5^{4} & 2^{21} & 2^{21}\end{matrix}\]结果就是38。
接下来我们来理论化的表述一下这个算法的过程：
假设输入\(a,b\)满足\(a>b\)。那么我们用\(a_{n},A_{n}\)分别表示第一行的底数和奇数，\(b_{n},B_{n}\)分别表示第二行的底数和奇数，如果\(a_{i}>b_{i}\)，那么\(a_{i+1}=a_{i}\mod{b_{i}},A_{i+1}=A_{i}+B_{i}\cdot \left [ \frac{a_{i}}{b_{i}} \right ],b_{i+1}=b_{i},B_{i+1}=B_{i}\)；如果\(a_{i}<b_{i}\)则上面的结论倒过来即可。
算法结束当且仅当\(a_{i}=1\)，此时\(A_{i}\)即为所求的最小正整数解。
例2：求解方程\(97x\equiv 1\mod{23}\)。
解：我们只需要列出下面这张表就可以得到求解
\[\begin{matrix}97^{1} & 5^{1} & 5^{1} & 2^{5} & 2^{5} & \\ 23^{0} & 23^{0} & 3^{4} & 3^{4} & 1^{9} & 1^{14}\end{matrix}\]结果就是14。
对于这个结果，如果1最先出现在下面一行，则需要再计算一次，而且这次计算必须使得余数是1。
假设输入\(a,b\)满足\(a<b\)。中间的步骤和之前一行，在计算过程中必然存在一个\(i\)使得\(b_{i}=1\)，此时我们只需计算\(B_{i+1}\)即可得到结果。其中\(B_{i+1}=A_{i}+B_{i}\cdot \left(a_{i} - 1\right)\)。
代码如下：
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#include <iostream>
using namespace std;
struct Num
{
int nBase, nIndex; // 分别表示底数和奇数
};
Num x, y;
int main()
{
cin >> x.nBase >> y.nBase;
x.nIndex = 1; y.nIndex = 0; // 初始化
if(x.nBase < y.nBase)
{
while(1)
{
if(x.nBase == 1 || x.nBase == 0) // 循环出口
{ cout << x.nIndex << endl; break; }
if(x.nBase < y.nBase) // 模拟计算过程
{
int nDiv = y.nBase / x.nBase;
if(y.nBase % x.nBase == 0)
{ nDiv--; }
y.nBase %= x.nBase;
y.nIndex += nDiv * x.nIndex;
}
else
{
int nDiv = x.nBase / y.nBase;
if(x.nBase % y.nBase == 0)
{ nDiv--; }
x.nBase %= y.nBase;
x.nIndex += nDiv * y.nIndex;
}
}
}
else
{
while(1)
{
if(y.nBase == 1) // 出口
{
int nDiv = x.nBase - 1;
cout << nDiv * y.nIndex + x.nIndex << endl; // 求出结果
break;
}
if(x.nBase < y.nBase) // 模拟计算过程
{
int nDiv = y.nBase / x.nBase;
if(y.nBase % x.nBase == 0)
{ nDiv--; }
y.nBase %= x.nBase;
y.nIndex += nDiv * x.nIndex;
}
else
{
int nDiv = x.nBase / y.nBase;
if(x.nBase % y.nBase == 0)
{ nDiv--; }
x.nBase %= y.nBase;
x.nIndex += nDiv * y.nIndex;
}
}
}
return 0;
}
可能上面的算法对于某些人来说比较晦涩，我们下面来介绍一下扩展欧几里德算法。首先介绍一个定理：
方程\(ax+by=\gcd\left ( a,b \right )\)一定有解。
这样我们的问题就可以转化为求方程\(ax+b\cdot \left ( -y \right )=1\)，在这里，我们先求出方程\(ax+b\cdot \left ( -y \right )=\gcd\left(a,b\right)\)的解，然后只要将结果除以\(\gcd\left(a,b\right)\)就行了。
下面来推导一下扩展欧几里德算法。
我们已知
\[ax+by=\gcd\left ( a,b \right )\]且\(\gcd\left ( a,b \right )=\gcd\left(b,a\mod b \right )\)。不妨设
\[bx{}'+\left ( a\mod b \right )y{}'=\gcd\left ( b,a\mod b \right )\]此时就有
\[bx{}'+\left ( a\mod b \right )y{}'=ax+by\]展开得到
\[bx{}'+\left ( a-\left [ \frac{a}{b} \right ]\cdot b \right )y{}'=ax+by\]化简得
\[ay{}'+b\left (x{}'-\left [ \frac{a}{b} \right ]\cdot y{}' \right )=ax+by\]因此可以得到
\[x=y{}',y=x{}'-\left [ \frac{a}{b} \right ]\cdot y{}'\]这样我们就可以用递归来实现扩展欧几里德算法了。
代码如下：
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#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL A, B, C, X = 0, Y = 0;
LL gcd(LL a, LL b);
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y);
int main()
{
cin >> A >> B;
C = gcd(A, B);
exgcd(A, -B, X, Y);
while(X < 0) { X += B; } // 找最小正整数
cout << X << endl;
return 0;
}
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if(a == 0)
{
x = 0; y = C / b; // 边界
}
else
{
exgcd(b % a, a, x, y);
y = x; // 递推公式
x = (C - b * y) / a;
}
}
LL gcd(LL a, LL b) // 求解最大公倍数
{
if(b == 0) { return a; }
else
{
return gcd(b, a % b);
}
}
相比之下扩展欧几里德更容易理解一点，并且没有大衍求一术那么多特殊情况要处理，比较方便。